こんにちはの方もこんばんはの方もようこそ、イカスミです。
理系大学生の皆さん、微分方程式の変数分離の勉強で悩んでいませんか？
この記事では、情報系を専攻する大学生の僕が、大学生の読者の皆さんと同じ目線で、変数分離をわかりやすく解説します！
この記事で解決できる悩み
- 微分方程式の変数分離の解法がわからない
- 変数分離の例題を参考にしたい
変数分離の微分方程式とは
変数分離の微分方程式とは、次のような形の微分方程式です。
$$ \frac{dy}{dx}=X(x) \cdot Y(y) $$
なんだか面倒そうな式ですね。
しかし実は、変数分離の微分方程式を解くのは簡単です。まず、このような式に変形します。
$$ \frac{dy}{Y(y)}=X(x)dx $$
その次は、両辺を積分します。
$$ \int\frac{dy}{Y(y)}=\int X(x)dx $$
ここで、左辺を見てみましょう。何か思い出しませんか？
そう、\(\frac{1}{x}\)の積分です。\(\int\frac{1}{x}=\log ｜x｜\)となることを活用します。
例題で解説
例題で理解を深めていきましょう。
例題1
$$ \frac{dy}{Y(y)}=x(5-y) $$
上の式を変形すると、このようになります。
$$ \frac{dy}{y-5}=-xdx $$
両辺に積分因子をかけ、積分します。
まずは左辺から。積分公式を活用した結果がこちらです。
$$ \int\frac{dy}{y-5}=\log ｜y-5｜ $$
次に左辺です。これは簡単ですね。
$$ \int-xdx= -\frac{1}{2}x^2+c (cは積分定数)$$
それぞれ等号で繋げると、このようになります。
$$ \log ｜y-5｜=-\frac{1}{2}x^2+c $$
logを外します。
\(y-5 = ±e^{-\frac{1}{2}x^2+c}\)・・・①
\(±e^{-\frac{1}{2}x^2+c}\)を変形します。
$$ ±e^{-\frac{1}{2}x^2+c}=±e^{-\frac{1}{2}x^2} \cdot e^c=e^{-\frac{1}{2}x^2} \cdot (±e^c)$$
\(±e^c\)は定数なので、任意定数Aを用いて表すと、このようになります。
$$ e^{-\frac{1}{2}x^2} \cdot (±e^c) = Ae^{-\frac{1}{2}x^2} $$
Aは任意定数なので、正負は考えてなくていいです。①に代入して変形すると、最終的な解は、
$$ y = Ae^{-\frac{1}{2}x^2} + 5 $$
となります。
このように、微分方程式の変数分離は、\( \frac{dy}{Y(y)}=X(x)dx \)の形に変形し、logの積分公式を上手く使うことが重要になります。
まとめ
この記事では、微分方程式の変数分離の解法を解説しました。
案外解法は簡単なことがわかったかと思います。
解法をマスターして、授業やテストを攻略しましょう！
最後まで読んで頂き、ありがとうございました。